ابوالوفاء بوزجاني( بوژگاني) و آثار وی

 

ابوالوفا محـمد بن يحيي بن اسماعيل بن عباس بوزجاني خراساني، يکي از مفاخر عـلمي ايران و متـولد 328 هـجري قـمري که در سوم رجب سال 388 هجري قـمري درگـذشته است. وي اهـل بوژگـان که در هـجده کيلومتري شرق شهـر تربـت جام قرار داد.
درسپيده اولين روز از ماه رمضان سال 328ه.ق كودكي از مادري فرهيخته و رياضي دان به نام ستاره پاي به عرصه حيات نهاد كه بعدها به عنوان يكي از بزرگترين رياضي دان در ايران به شمار آمد كه ابوريحان بيروني با تمامي علوم و دانايي شاگرد ابوالوفا و نيز همكار وي در زمينه ي نجوم و دانش تطبيقي (comparative science) به شمار مي آيد.
شهر بوژگان حاكم نشين سابق "زام" يا جام امروز است كه معرب آن در كتب تاريخ "بوزجان" ذكر شده است و اكنون بوژگان خرابه اي بيش نيست، ليكن در اهميت و مقام ارگ بوژگان همين بس كه ساسانيان آن را تعمير نموده و مورخ شهير "سمعاني" در كتاب "الانساب" آورده است كه در مجلدي ديگر قصد آن دارم تا اسامي و مشخصات دانشمندان و مدرسان تنها دانشگاه رياضي جهان را كه شمار آنان فزون بر يك هزار نفر است به رشته تحرير در آورم كه متاسفانه اجل مهلت نمي دهد و روي در نقاب خاك مي كشد و اين ناحيه از ميهن عزيز كه مركز تربيت رياضي دانان بزرگي در جهان بوده است در نسيان تاريخ و تعصبات گوناگون به دست فراموشي سپرده مي شود.
به هر تقدير، بنا به گفته مورخان ابوالوفاي بوزجاني به عنوان حاسب (حساب دان) مشهور و يكي از ائمه مشاهير در علم هندسه  و  در اين علم استخراجات غريبه است كه كسي پيش از او بر آن ها دست نيافته است. و او يكي از بزرگ ترين علماي علم رياضي ايران در عصر اسلام است.
ابن نديم در شرح حال او گويد كه وي نزد عموي خويش معروف به "ابي عمرو" و"المغازلي" و خال ، دايي، خود موسوم به ابوعبدالله محمد بن عنبسه علوم اعداد و حساب آموخت و عموي او هندسه را از "ابن يحيي الماوردي" و "ابوالعلا كرنيب" فرا گرفت و به سال 345 ه به عراق شد. ابن ندیم تاریخ درگذشت ابوالوفاء بوزجانی را ذکر نکرده است زيرا کتاب"الفهرست"او تقریبآ ده سال پیش از فوت"بوزجانی" اتمام پذیرفته است."ابن اثير"در کتاب:"الکامل فی التاريخ" تاريخ فوت بوزجانی را سال 387ه.ق (997م) نوشته است.
بوژگاني در كارهاي علمي با دانشمندان هم عصر خود مكاتبه و نيز مباحثات بسياري داشته است. چنانچه بيروني در كتاب "تحديد نهايت الاماكن" نوشته است: "با ابوالوفا محمد بن محمد بوژگاني چنان قرار گذاشته بودم كه او در بغداد و من در خوارزم كسوف ماهي را رصد كنيم و اين در سال 378 ه ق صورت گرفت

 اهميت آثار رياضي بوزجاني بيشتر به واسطهً سهم بسزايي است كه وي در پيشرفت علم مثلثات دارد.كتاب اعمال هندسي وي بديعترين و جالبترين اثري است كه در دورهً اسلامي دربارهً هندسهً عملي پديد آمده است .بخش مهمي از كتاب مجسطي بوزجاني را مي توان كتاب جامعي دربارهً علم مثلثات دانست كه در آن دستورهاي مهم مثلثاتي ثابت شده و در مسايل متعدد و متنوع مورد استعمال قرار گرفته است .
کتابی که اودر علم حساب نوشته است نخستين بار مورد توجه دانشمندان اروپايی قرار گرفت. بوزجانی در اين کتاب برای حل معادله ها از اعداد صحيح استفاده کرده است وبه نظر يکی از دانشمندان به نام يوشکويچ او نخستين رياضی دان مسلمان است که اعداد منفی را به کار برده است.
ابوالوفاء در رياضي و نجوم شهرت زيادي به دست آورد.وي در هندسه صاحب تحقيقاتي بس ارزنده است و در بسط علم مثلثات سهم بسيار مهمي دارد.
وباابتكاري در خوراعجاب قضاياي عمده اي در"مثلثات كروي"كشف كرده است.بوزجاني مانند دانشمند مهم ايراني"ابوريحان بيروني"درمحاسبات خود هميشه شعاع دايره را واحد فرض مي كرده واين همان كاري است كه دانشمندان مغرب زمين بعدها در مثلثات متداول ساختند و دايره به شعاع واحد را"دايره مثلثاتي"نام نهادند.نيز"قاعده مقادير اربعه"كه امروز مبناي حل"مثلثات كروي"است از ابوالوفاء بوزجاني است ونيز شكلي كه علماي رياضي قديم آن را"شكل ظلي"مي نامند ازابتكارات اوست.
وشايد او نخستين کسی باشد که در مثلثات کروی غير قائم الزاويه نظريه"جيب" را آوردوحساب جيب 30 درجه از اوست.
قسمتی از شهرت جهانی دانشمند ابوالوفاء بوزجانی مرهون ترجمه رساله ها وکتاب های عمده ومعتبر رياضيات و هيات از زبان يونانی به زبان عربی است.
به پاس خدمات بوزجانی به رياضيات و نجوم يکی از دهانه های ماه را به نام وی نام گذاری کرده اند.

و در اهميت كارهاي علمي ابوالوفاي بوزجاني همين بس كه دانشمند شهير ايتاليايي "كارلو آلفونسوئلينو" درباره تاثيرعلم وابداعات وي در كتاب خود به نام "نجوم اسلامي، ترجمه استاد احمد آرام، چنين آورده است: "فرزند وطن گردن همت به كاوش در تاريخ كشورش مي افرازد."
از اين رو ابوالوفاي بوزجاني در غرب و در نزد دانشمندان آن ديار از اهميت و اعتبار فراواني برخوردار است ودر جاي جاي كتاب "تاريخ نجوم اسلامي" كه ذكر آن رفت، كشفيات و دست آورد هاي بوژگاني در هندسه ، حساب ، مثلثات كروي و ... هنوز هم مورد توجه و دقت وبررسي است، تا بدانجا كه مي گويد: "ارتباط بعضي از احكام شرعي با نمودهاي آسماني سبب افزايش توجه مسلمانان به شناسايي مطالب نجومي بوده است و... ."
بوژگاني درباره تقسيم قطر دايره به دو جزء و شعاع دايره به شصت درجه و ديگر محاسبات كه بوژگاني با طرحي بديع نصف قطر دايره رايك فرض كرده و اين همان كاري است كه در زمان ما ( قرن حاضر) رايج است و با اين فرض ديگر به وارد كردن علامت نصف قطر در فرمول هاي حساب مثلثات نيازي نيست. محاسبات رياضي بوژگاني رمز مثلثاتي خاصي دارد.

فيـبو ناتـچي دانـشمند ايتاليايي قسمت عمدهً مسائل رياضي و جبر خود را از کتاب ابوالوفا استـنساخ کرد و بعـدها معـلوم شد شخـصي که نام اصلي اش " لئونارد دوپـيز " که هـمان " فيـبو ناتـچي " بوده به مصر و شام مسافرت کرده و قسمت عمدهً مطالعـات خود را که در کتاب " اباکوس " آورده است از منابع دانشمندان رياضي دوره اسلام بوده و بويژه از ابوالوفا و کتاب الفـخري " کرجي " بوده است.
بنا به عـقـيده " مارتـين گـاردنر " دانشمند و پـژوهـندهً رياضيدان آمريکايي در نشريه عـلمي معـروف آمريکن سايـنس گـفـته است که نخستين رساله اي که دربارهً تـقـسيم و تـبديل اشکـال هـندسي نوشته شده است، توسط ابوالوفا دانشمند ايراني بوده که متاًسفانه فـقط چـند ورقي از کـتاب پـر ارزش او باقي مانده؛ و اولين بار سه مربع را به 9 جزء تـقـسيم و از آنهـا يک مربع کامل ساخـته و به تـفـضيل به شرح آن پـرداخـته است؛ سپس به مدت ده قرن اين بحـث هـندسي و رياضي به فراموشي سپـرده شد تا اينکه " هـانري ارنست دوني " انگـليسي و " هـاري لين گـرين " استراليايي دنبالهً پـژوهـشهاي ابوالوفا را ادامه دادند.

رياضي دان ايراني تبار به نام آقاي دكتر چاووشي از فرانسه در سمينار بزرگداشت ابوالوفاي بوژگاني در شهر تربت جام (4 و 5 آذر ماه 1378) اظهار داشت كه سازنده ي اصلي آيينه هاي مقعر و... بر خلاف آن چه مشهور است منسوب به ارشميدس (212-287 قبل از ميلاد) است ولي اخيراً در فرانسه آثاري به دست آمده كه ابوالوفاي بوژگاني طرز ساخت، ميزان انرژي به دست آمده، فواصل لازمه براي سوزاندن اجسام ثقيل و بسياري موضوعات علمي وعملي را در باره ي اين آيينه ها روشن ساخته است و بسياري مطالب ديگر كه توسط دانشمنداني از كشور هاي هلند، يونان، تركيه ، فرانسه، قبرس، ايتاليا و نيز بسياري از مشاهير علم رياضي، عصر حاضر از ايران به ايراد سخنراني در باره ي مقام وموقعيت علمي و كارهاي بديع او در علوم مختلفه رياضي پرداختند.
اهميت آثار ابوالوفاي بوژگاني:
اهميت آثار بوژگاني به واسطه ي سهم بسزايي است كه وي در علم مثلثات دارد بخش مهمي از كتاب "مجسطي بوژگاني" را مي توان كتاب جامعي در علم مثلثات دانست. در مثلث سطح بوژگاني صحت روابط زير را ثابت كرده و آن ها را برده است:
در مثلث كروي غير قائم الزاويه نيز بوژگاني رابطه ي زير را كه در مثلث مسطح سطح نيز صادق است را به دست آورده است. و نيز كتاب اعمال هندسي بوژگاني مربوط به هندسه عملي است و در بين كتاب هايي كه مسلمانان در هندسه تاليف كرده اند بي نظير است. در اين كتاب سه مطلب مهم زير جلب توجه مي كند:
1-ترسيمات هندسي به وسيله ي يك خط كش و فقط يك گشادگي دهانه پرگار ... اين ترسيمات به قول وپكه (WOEPCKEIF.F) در دوره ي رنسانس عده اي از مهندسان را به خود مشغول داشت و نيز چندين مهندس عالي مقام در باره ي آن ها آثاري به وجود آورده اند.
2-حل كامل و بديع مسئله ي زير:
تقسيم يك مربع به عده ي معلومي مربعات با تشكيل يك مربع با عده ي معيني از مربعات به وسيله ي پهلو به پهلو قرار دادن آن ها و بدون استفاده از قضيه ي فيثا غورث.
3-ساختن چند وجهي هاي منتظم با طريقه اي غير از روش هاي متفاوتي كه اقليدس و پاپوس به كار بسته اند وجهي كه به قول وپكه (در مجله آسيايي، جلد 5 سال 1855 ص 220 ) آمده است.
مباحثه در آكادمي علوم فرانسه راجع به بوژگاني:
در سده ي نوزدهم ميلادي بحث مفصلي در آكادمي علوم كشور فرانسه در باره ي كتاب المجسطي بوژگاني در گرفت كه چند تن از دانشمندان فرانسوي در آن شركت داشتند. اين بحث از آن جا شروع شد كه در 28 ماه فوريه سال 1836 لويي آملي سديو (L.AM.SEDILLOT) در آكادمي فرانسه ادعا كرد كه ابوالوفاي بوژگاني منجمي كه در سده ي دهم ميلادي مي زيسته، اختلاف سوم حركت ماه را كه وارياسيون (VARIATION) ناميده مي شود و تا آن موقع كشف آن را به تيكو براهه (TYCHOBRAHE, 1546-1601) منجم دانماركي و معلم كپلر و مؤلف كتاب مدخل نجوم نسبت مي دادند، كشف كرده است. سديو متن عربي قسمتي از كتاب المجسطي ابوالوفاي بوژگاني را كه به زعم او مشتمل بر كشف مذكور بود با ترجمه ي فرانسوي آن در اختيار آكادمي فرانسه گذاشت و آكادمي هياتي را مامور بررسي اين نكته ي شگفت انگيز تاريخ نجوم كرد و اين سؤال را مطرح ساخت كه اگر اختلاف سوم كتاب ماه در حركت بوژگاني ذكر شده است چرا منجمان بعد از وي از آن سخني به ميان نياورده اند؟
اين بحث از سال 1836 تا 1871 ميلادي در فواصل مختلف از سر گرفته شد كه خلاصه ي اين بحث بسيار پيچيده و علمي را مي توان در كتاب گرانسنگ و پربار استاد فقيد ابوالقاسم قرباني رياضي دان مشهور ايراني پي گيري نمود.
آثار موجود رياضي بوژگاني:
1-كتاب المنازل سبع كه داراي هفت منزل و هر منزل داراي هفت باب است و بوژگاني اين كتاب را به نام "عضدالدوله ديلمي" تاليف كرده است.
2-كتاب "في مايحتاج اليه الصانع من اعمال الهندسه " كه در كتابخانه هاي مشهور جهان ، تركيه، كتابخانه ي آمبر و زيان در شهر ميلان موجود است.
3-رساله ي "في تركيب عدد الوفق في المركبات"
4-كتاب "جواب ابوالوفاي بوژگاني عما ساله الفقيه ابوعلي الحسن بن حارث"
5-كتاب "المدخل الي صناعه الارثماطيقي"
6-رساله " في النسبه و التعريفات"
7-رساله "في جمع الاضلاع المربعات و المكعبات"
8-كتاب "المجسطي بوژگاني" كه كتابي است ارزشمند در حساب مجسطي كه بيروني، سديو، كارادو و ديگر دانشمندان جهان از آن نام برده اند.
ونهايت آن كه ابوالوفاي بوژگاني متولد روستاي بوژگان تربت جام و با شصت سال عمر، كاري كرد كه هنوز هم مجامع علمي جهان هرساله باتعدادي از آثار وي كه از كتابخانه هاي عالم كشف وچاپ مي شوند آشنا گرديده و به قدر و منزلت او بيشتر و بيشتر پي مي برند و اين اسباب افتخار ايرانيان است در سراسر گيتي. و بالاخره كشفيات او در رياضي ، هندسه، نجوم، مثلثات و غيره سبب گرديد تا يكي از دهانه هاي آتشفشان ماه را به نامش نامگذاري كنند.

 ابوالوفا براي اولين بار در تهـيه جداول سينوس و کسينوس و شعـاع دايره، عـدد واحـدي را به کار برد و به اين وسيله توانست در تکـميل جداول مثـلثاتي اقدام کند و اولين بار نسبت ظل معـکوس زاويه به قـطر ظل زاويه را که جـيب زاويه به شعـاع دايره بود کشف کرد. اين نسبت مثـلثاتي را که امروزه به نام سکانت مي خوانند و " کـپرنيک " اين نسبت را به نام خود مشهـور کرده است
مدفن اين شخصيت يگانه از تربت جام خراسان در حوالي بغداد است و حكام بعد از زمان او به پاس خدماتش به علوم رياضي موقوفات زيادي را براي نگهداري و احياي مزار و دو كتابخانه اش اختصاص داده بودند.

جايگشت و جايگاه آن در رياضيات دوران راهنمايي:

جايگشت و جايگاه آن در رياضيات دوران راهنمايي:

با توجه به اهميت جايگشت در رياضيات دوران راهنمايي و موارد كاربرد متعدد آن ،ضرورت ديده شد تا با ارائه مقاله اي اهميت توجه هر چه بيشتر به مسائلي را كه با جايگشت سر وكار دارند را به همكاران متذكر شويم شايان ذكر است كه در نظرسنجي اي كه در اولين همايش آموزش رياضي در اسفند85 به عمل آمد بيش از دو سوم همكاران با ارائه بخشي جداگانه تحت عنوان جايگشت در كتاب درسي موافق بودند كه اين نظر به همراه ديگر نظرات آنها به دفتر تاليف كتب درسي ارجاع داده شد

تعريف جايگشت:

از ديدگاه مجموعه اي يك جايگشت از يك مجموعه تنها يك جابجايي بين عناصر آن است و به عبارت آماري ترتيب هاي قرار گيري دسته هاي از اشياء در كنار هم را جايگشت گوييم و اگر بخواهيم از ديدگاه تابعي جايگشت را تعريف كنيم بايد بگوييم:يك جايگشت رويA يك نگاشت از A بهA است كه يك به يك و پوشا باشد

ما در اين مقاله قصد داريم تا با بررسي جايگشت در رياضيات دوران راهنمايي به تقسيم بندي آنها در علوم مختلف و شاخه هاي مختلف رياضي بپردازيم

جايگشت در هندسه:

در يك مربع كه به چهار قسمت متفاوت مساوي با استفده از خطوط تقارن عمودي و افقي تقسيم شده است هشت جايگاه داريم: 0 و 90 و 180 و 270 درجه و انعكاس نسبت به محمر xها و yها و انعكاس نسبت به خطy=-x وy=x كه در جبر به آن گروه D4 يا گروه دو وجههي تقارنهاي مربع گويند.

و يا در مثلث متساوي الاضلاع با مفروضات بالا داراي شش دوران 0 و 120 و 240 درجه و تقارن نسبت به سه محور تقارن است

در صفحه136 كتاب اول در مساله5:شش مربع مساوي به ضلع يك سانتي متر را كنار هم قرار دهيد به طوريكه محيط شكل بدست آمده يكي از مقادير 10،12 و18سانتي متر باشد.آيا مي توانيد با اين 6مربع،شكلي بسازيد كهمحيط آن از 10سانتي متر كمتر باشد؟ آيا مي توانيد با اين 6مربع شكلي بسازيد كه محيط آن از 24سانتي متر بيشتر باشد؟

در هندسه كلاس سوم راهنمايي قسمت دوران نيز كه چهار صفحه از كتاب به آن اختصاص داده شده كه به هشت حالت دوران مربع و تركيب دورانها پرداخته شده كه قبلا به آن پرداخته شده است.

جايگشت در جبر:

يكي از قسمت هاي جايگشت جبري ذر رياضيات راهنمايي،دوران پايه سوم است كه علاوه بر جنبه هندسي از لحاظ جبري نيز حائز اهميت است ابتدا به بحث جبري آن مي پردازيم و سپس به بحث كتاب و ارتباط آنها.

اگر 8حالت ممكن دوران مربع را با حروف لاتين شماره گذاري كنيم آنگاه گروه جبري ايجاد شده تحت عمل تركيب توابع يك گروه است كه در كتاب نيز در تمرين 3 صفحه87 دو مورد از تركيب تقارنها داده شده است و همين تمرين مثالي براي دور جبري به طول 2 است و شايد مقدمه اي بر اينكه همه جايگشت هاي زوج يك مجموعه زير گروه نرمالي از آن است باشد همچنين در جبر مسائلي از قبيل جدول مربوط به عمل گروههاي تقارن هر يك از شكل اي هندي و تركيب آنها وجود دارد.

اما مساله ديگري كه در كتاب دوم راهنمايي كمتر مورد توجه قرار گرفته كمتر مورد توجه قرار مي گيرد و همكاران حل آن را به دانش آموز واگذار مي كنند مساله زير است:

حسين با ميله هاي چوبي و گلوله هايي به رنگ قرمز و آبي ميخواهد تعدادي كاردستي مانند شكل مقابل بسازد(مربع هايي كه چها گوشه آن گلوله قرار دارد) باتوجه به رنگ گلوله ها، او چند نوع متفاوت از اين كاردستي ها مي تواند بسازد؟اگر گلوله ها سه رنگ باشد چند نوع متفاوت مي تواند بسازد؟

جواب:اگر n تعداد چوب كبريتها و يا گلوله باشد آنگاه جواب قسمت اول 6n/4 و جواب قسمت دوم 18n/4است

جايگشت در فيزيك:

در بلورشناسي و فيزيك بلورها از گروههاي تقارن در انواع شكلهاي سه بعدي استفاه مي كنند همچنين گروههاي تقارني توسط فيزيكدانان براي پيشگويي وجود برخي از ذرات بنيادي كه بعدها به طور تجربي پيدا شده اند به كار رفته است

مي توان گفت براي حدس زدن درصد وجود احتمال الكترون در منطقه اي خاص نيز از اصول جايگشت استفاده مي شود

مسائل جايگشت با اصل شمارش (ضرب):

اصل ضرب: اگر عمل 1به m حالت و عمل 2 به nحالت انجام شود تعداد حالاتي كه مي توان دو عمل را با هم انمجام داد mn حالت است

در پايه اول در قسمت حل مساله صفحه 6 مساله ها ذهنيتي قوي را براي دانش آموز براي محاسبه فضاي نمونه فراهم مي كند

1- براي رفتن از شهر تهران به كرج سه راه وجود دارد :اتوبان،جاده مخصوص و جاده قديم.اگر شخصي بخواهد از شهر كرج به قزوين برود از دو راه اتوبان و جاده قديم مي تواند استفاده كند.اگر مسافري بخواهد از شهر تهران به قزوين برود از چند راه مي تواند استفاده كند؟

و هم چنين در ادامه صفحه10 سه مساله زير آمده است:

2-زهرا نقاشي مقابل را كشيده است او مي خواهد شلوارك پسرك را سبز،قرمز، آبي يا بنفش و پيراهن او را سبز ،زرد يا قرمز كند. او به چند شكل ميتواند اين نقاشي را رنگ كند

كاربرد جايگشت در هنرهاي تجسمي:

 يكي از بحث هاي مهم در هنرهاي تجسمي تغيير و ابداع شكل است كه در حقيقت جايگشت اجزاي بريده شده يك شكل است مثلاً از طريق برداشتن قسمت يا قسمت هايي از يك شكل ساده هندسي مانند دايره مي توان بي نهايت شكل جديد به دست آورد كه هر كدام از آنها ماهيت مخصوص به خود را دارند

در بحث به دست آوردن حجم هاي جديد در هنرهاي تجسمي يكي از راهها برداشتن قسمت يا قسمت هايي از يك شكل و در نتيجه تغيير دادن آن است و يا به معنايي ديگر جايگشت جابجايي قسمت محذوف شكل هندسي نسبت به كل شكل است كه همين مساله در قسمت كسرهاي اول راهنمايي براي رنگ زدن 8 حالت مختلف از 2/1 آمده است

يكي ديگر از بحث هاي ظريف هنرهاي تجسمس تعادل و تناسب است كه در حقيقت جايگشت اجزاي مختلف براي رسيدن به يك تقارن از نظر  بيننده است و تناسب يك مفهوم رياضي است كه در هنرهاي تجسمي بر كيفيت رابطه مناسب اجزاي اثر با يكديگر و با كل اثر دلالت داردو تقريباً همه آثار هنري بر اساس نوعي تناسب به وجود آمده اند از اين جهت تناسب يكي از اصول اوليه اثر هنري است كه رابطه بصري هماهنگ اجزاي آن را بيان مي كند

انواع تعادل در هنرهاي تجسمي1-تعادل متقارن: كه در حقيقت تقارن نسبت به محورهاي افقي،عمودي و مورب است 2-تقارن غير متقارن:كه بر اساس فاصله،اندازه  ،جهت و تيرگي و بافت و جاي آنها نسبت به يكديگر در كادر است كه آن راهم مي توان نوعي جايگشت و تقارن به حساب آورد

جايگشت در احتمال:

يكي از كاربردهاي جايگشت در احتمال تعيين فضاي نمونه است كه در مسائل ابتداي كتاب اول راهنمايي مانند تمام حالات براي رنگ پيراهن و شلوار پسر در مساله اي كه قبلاً ذكر شد به آن اشاره شده استهمچنين در تعيين تعداد اعضاي فضاي نمونه در يك مجموعه تمام جايگشت هاي ممكن در آن 2 به توان n است كه در ابتداي كتاب دوم  در قسمت حل مساله به آن اشاره شد و همچنين در همين مساله زير مجموعه هاي بدون عضو و يكي اي،دو تايي و سه تايي را خواسته است كه در مورد يكي و دوتايي خود جايگشتي  از حالات مختلف زير مجموعه هاست

جايگشت در شيمي:

در فصول دو و سه شيمي عمومي 1(مورتيمر) به طور گسترده در مورد نحوه و ساختار قرار گرفتن الكترونها و پروتونها بحث شده است مثلاً در مورد ملكول آب و زاويه 120درجه سه بعدي ميان اتمهاي آن ساختارهاي متفاوتي وجود دارد كه هر كدام از آنها يك جايگشت از يك ملكول است

جايگشت در رمز گذاري:

يكي از روشهاي معمول رمز گذاري روش جايگشت است در اين روش كاراكترهاي متن اصلي جابجا مي شوند براي مثال كاراكتر اول به مكان سوم و كاراكتر سوم به مكان دوم و دومي به جاي اولي منتقل مي شود. يعني رشته ali به lia تبديل مي شود و مساله زير در ابتداي كتاب پايه اول تمريني براي اين امر است

3-چند عدد دو رقمي مي توانيد بنويسيد كه رقم يكان آنها يكي از عددهاي 2،3يا4 و رقم دهگان آن يكي از عددهاي 3،6،7،8ويا 9 باشد؟اين اعداد را بنويسيد.