آموزش رياضي دوره راهنمايي

دستگاه‌هاي شمار12 تايي

 ما به‌طور معمول براي شمردن ، دسته‌هاي ده‌تايي درست مي‌كنيم . ابتدا با 10 تا يكي - 1 بسته ده‌تايي ، با 10 بسته ده‌تايي - يك بسته صدتايي و با 10 صدتايي يك بسته هزارتايي درست مي‌كنيم و به همين ترتيب ، دسته‌بندي ده‌تايي را ادامه مي‌دهيم . نماد 215 نشان مي‌دهد كه 215 شيء را مي‌توانيم در 2 بسته صدتايي ، 1 بسته ده‌تايي و پنج يكي قرار دهيم . سيستم شمارش اعداد بر مبناي 10 به دستگاه شمار هندو - عربي شهرت يافته است . گرچه مفيد بودن انگشتان در نمايش اعداد به توسعه وسيعي از سيستمي از اعداد كه بر مبناي ده قرار دارد منجر شده است ، ليكن عدد ده به هيچ وجه تنها پايه به كار رفته براي سيستم اعداد نمی‌باشد . سيستم شمارش بابلي‌ها تركيبي از مبناهاي ده و شصت را مورد استفاده قرار می‌داد كه نشانه‌هاي آن امروزه در واحد اندازه‌گيري زمان و زاويه يعني 60 ثانيه و 60 دقيقه مشهود است ، در گذشته‌هاي دور عددهاي نجومي در مبناي 60 نوشته مي‌شد . امروزه در الكترونيك ديجيتال از مبناي دودويي بيشتر استفاده ميشود . در طول تاريخ ثبت شده است كه پيشرفت جامعه‌هاي متمدن با توسعه سيستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( كتابت و كتاب نويسي ) همراه بوده كه چنين به‌نظر مي رسد كه همگي ريشه در وحي كتب آسماني و تاريخ اديان داشته است . نشانه‌هايي از سيستم‌هايي از اعداد بر پايه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت ، و بيست در ميان سرخ پوستان آمريكاي شمالي پيدا شده است . بعضي شواهد از سيستم اعداد بر پايه دوازده را ميتوان در مثال اينكه هر فوت دوازده اينچ است يا هر شيلينگ انگليسي دوازده پنس و يا اينكه هر سال دوازده ماه است و يا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه كرد . اما در جوامع امروزي به‌نظر می‌رسد كه سيستم اعداد بر پايه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزاياي ذاتي ، بلكه به نظر می‌رسد كه به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . عمل‌هاي حساب دهدهي براي ما به‌خوبي آشنا هستند . دانش آموز دبستاني جدول‌هاي جمع و ضرب را براي 9 عدد اصلي و صفر به همراه بعضي قواعد براي نگهداشتن يك رقم از يك عمل به عمل بعد ياد می‌گيرد و سرانجام با اين قواعد ياد می‌گيرد كه عمل‌هاي حسابي را روي هر دسته پايان داري از اعداد دهدهي انجام دهد . در سيستم‌هاي اعداد ديگر ، دسته قواعد مشابه براي حساب وجود دارد . بخش زير اين قواعد را براي سيستم (دوازده تايي ) توصيف می‌كند .

سيستم دوازده‌تايي :

ما آنچنان به شمارش در سيستم دهدهي عادت كرده‌ايم كه وقتي مي خواهيم از سيستم اعداد متفاوتي استفاده كنيم ، كاملا مشكل است كه بسياري از عادت‌هاي فكر كردن را ناديده بگيريم . براي اينكه بعضي از اين اشكالات تذكر داده شوند ، ما در باره سيستم دوازده‌تايي بحث می‌كنيم .

در اين سيستم علامتهاي زير را به عنوان نشانه‌هاي اساسي به كار می‌بريم .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , D , E

حرف D به جاي عدد دهدهي 10 و حرف E به‌جاي عدد دهدهي 11 می‌باشد . گيريم براي جلوگيري از اشتباه كردن آنها را با نامهاي دهدهي dec و el بناميم . عدد بعد از el Dيك دوازده تايي است كه در اين طرز نمايش به صورت 10 نوشته خواهد شد . عدد بعدي ، كه همان عدد سيزده دهدهي است ، به صورت 11 نوشته می‌شود . از برخي لحاظ بهتر بود كه به‌جاي علامت‌هاي 1 تا 9 نيز نشانه‌هاي كاملا جديدي براي علامتهاي اساسي سيستم دوازده تايي انتخاب می‌گرديد . زيرا كاربرد علامتهاي دهدهي قواعد دهدهي را پيشنهاد می‌كنند كه در سيستم دوازده تايي صادق نيستند .

براي مثال ، به‌جاي قاعده جمع دهدهي شش به اضافه پنج مساوي يازده ، بايد شش به اضافه پنج مساوي el قرار گيرد .

6+5=(يازده دهدهي)=E

قاعده دهدهي شش به اضافه هفت مساوي سيزده ، بايد بوسيله شش به اضافه هفت مساوي يك دوازده تايي و يك تعويض گردد ، يا

6+7=11 دوازده تايي

پس بايد دقت شود كه دوباره به طرز تفكر قواعد دهدهي برنگرديم . براي علامت‌هاي اساسي حساب دوازده تايي يك جدول جمع جديد همچنين يك جدول ضرب جديد بايد آموخته شود . براي مثال پنج ضربدر هشت مساوي چهل دهدهي يا سه دوازده تايي و چهار است ، يا

5*8=40=3*12+4=34دوازده تايي

براي نوشتن اعداد دوازده تايي به هر اندازه ، سيستم « ارزش محل » را به كار می‌بريم ، يعني براي تعيين مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به مميز دوازده تايي ( نه مميز دهدهي ) در نظر مي‌گيريم ، هر محل سمت راست يا سمت چپ مميز دوازده تايي از لحاظ مقدار از محل مجاور خود به اندازه يك ضريب دوازده تايي متفاوت مي باشد . به طور مثال :

171دهدهي=3+24+144=3+(12*2)+(12*12*1)=123 دوازده تايي

1.61805555555دهدهي=(12/12/5)+(12/7)+1=1.75 دوازده تايي

سيستم دوازده تايي از بعضي جهات راحت‌تر از سيستم دهدهي است . راحتي فوق اصولا از اين حقيقت ناشي مي شود كه تعداد مقسوم عليه‌هاي دوازده از تعداد مقسوم عليه‌هاي ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذير است .

بنابراين بسياري از محاسبات دستي در سيستم دوازده تايي تا حدودي ساده‌تر از سيستم دهدهي هستند ، بعضي از كسرهاي معمولي كه در مبناي دهدهي به صورت عددهاي كسري متناوب در می‌آيند در مبناي دوازده تايي چنين نيستند . براي نمونه كسر 3/1 كه همان 12/4 ميباشد در مبناي دوازده تايي به صورت 0.4 است . بعضي از كسرهاي ساده در مبناي دوازده تايي به صورت زير مي باشند .

دوازده تايي 0.2 = دهدهي 12/2=6/1

دوازده تايي 0.3 = دهدهي 12/3=4/1

دوازده تايي 0.4 = دهدهي 12/4=3/1

دوازده تايي 0.6 = دهدهي 12/6=2/1

با وجود راحتي ، مبناي دوازده تايي احتمالا هرگز براي محاسبات دستي پذيرفته نخواهد شد . ولي لازم است بدانيم ، كه سيستم شمارش در عالم و هستي ما بر پايه مبناي دوازده‌تايي استوار گرديده است كه در مباحث بعدي به اين موضوع بسيار مهم خواهيم پرداخت . در واقع مبناي شمارش اعداد در رياضيات مختص فيزيك نيز ، سيستم دوازده‌تايي در نظر گرفته ميشود .

چنين به‌نظر ميرسد ، موجودات هوشمند ازجمله انسان و UFO و USO كه توانايي انجام دادن عمليات و محاسبات رياضي را دارند به‌طور ذاتي از سيستم‌هاي شمارش بر مبناي ده‌تايي و دوازده‌تايي بهره ميجويند.

.. همانطور كه مشخص ميباشد تعداد انگشتان سازنده آن 12 تا بوده است كه بعضي از انسانها هم به‌طور مادرزادي 12 انگشتي به دنيا مي‌آيند . لازم به توضيح است كه شواهد بسياري دال بر وجود رابطه نزديك مابين يوفوها و سرخ پوستان آمريكاي شمالي ، حتي فراعنه مصر در دست است و با توجه به اينكه انسانها تاكنون از سيستم‌هاي شمارش متعددي غير از ده استفاده نموده‌اند ، پيش بيني ميشود كه موجودات باشعوري با تعداد انگشتان متفاوتي نيز وجود داشته باشند.